Потенциальные и ёмкостные коэффициенты

Формулировка задачи и теорема единственности

Пусть имеется система $N$ проводников в вакууме с зарядами ${q_{i}}$ и потенциалами ${φ_{i}}$ . Покажем, что потенциал $i$ -го проводника является линейной комбинацией зарядов всех проводников:

\begin{matrix} (1) & φ_{i} = \sum_{j = 1}^{N} α_{i j} q_{j}, \end{matrix}

где потенциальные коэффициенты $α_{i j}$ определяются только взаимным расположением и формой проводников. Обратно, заряды проводников представляются в виде линейной комбинации потенциалов:

\begin{matrix} (2) & q_{i} = \sum_{j = 1}^{N} C_{i j} φ_{j}, \end{matrix}

где ёмкостные коэффициенты $C_{i j}$ также определяются только геометрией задачи. Причём эти коэффициенты определяются однозначно.

Основным фактом, на котором строится доказательство, является теорема единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Теорема единственности решения задачи Дирихле

Пусть в области $Ω$ задано уравнение

\begin{matrix} (3) & \nabla^{2} f = 0, \end{matrix}

где $\nabla^{2}$ — дифференциальный оператор Лапласа:

\nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} .

Пусть искомая функция $f (r)$ удовлетворяет граничному условию

\begin{matrix} (4) & {f |}_{\partial Ω} = g (r), \end{matrix}

где $g (r)$ — известная функция, определённая на границе $\partial Ω$ и удовлетворяющая ряду условий регулярности (непрерывность, гладкость, двукратная дифференцируемость). Тогда решение уравнения (3) с граничным условием (4) единственно.

Добавим небольшой комментарий к формулировке теоремы единственности. Область $Ω$ может быть неограниченной. В этом случае для обеспечения единственности решения уравнения (3) граничное условие (4) необходимо дополнить условием поведения решения на бесконечности:

\begin{matrix} (5) & lim_{r \to \infty} f (r) = 0. \end{matrix}

Следует подчеркнуть, что теорема единственности — это строго доказываемое в математике утверждение, которое справедливо всякий раз, когда корректно сформулированы граничные условия типа (4) или (5).

Отметим также, что для уравнения Лапласа может быть сформулирована так называемая задача Неймана. Она отличается от задачи Дирихле типом граничных условий: в задаче Неймана на границе задаётся производная функции $f$ , а не сама функция. Для задачи Неймана также можно сформулировать и доказать теорему единственности решения.

Конструирование решения

В качестве области $Ω$ , в которой предлагается решать задачу Дирихле для уравнения Лапласа, рассмотрим всё пространство вне проводников между их поверхностями. Эта область неограничена на бесконечности, а её внутренними границами являются поверхности всех $N$ проводников.

Рассмотрим некоторую безразмерную функцию $f_{i} (r)$ , для которой граничные условия сформулируем следующим образом: пусть эта функция стремится к нулю на бесконечности, принимает значение $1$ на поверхности $i$ -го проводника и обращается в нуль на поверхностях всех остальных проводников. Пусть $f_{i} (r)$ в области $Ω$ удовлетворяет уравнению Лапласа. Вопрос о существовании¹ такой функции мы пока не обсуждаем, допустим, что такая функция существует.

Важнейшим следствием теоремы единственности является то, что функция $f_{i} (r)$ определена однозначно. Это означает, что для данной конфигурации проводников в пространстве существует один и только один набор базисных функций ${f_{i} (r)}$ , таких что любая $f_{i}$ удовлетворяет уравнению Лапласа в области $Ω$ , равна нулю на поверхности любого проводника кроме $i$ -го и равна $1$ на поверхности $i$ -го проводника. Причём вид этих функций зависит исключительно от геометрии системы.

Любое произвольное распределение потенциала $φ (r)$ , удовлетворяющее уравнению Лапласа в $Ω$ и принимающее значения $φ_{j}$ на проводниках, в силу линейности уравнения Лапласа может быть представлено в виде суперпозиции этих базисных функций:

\begin{matrix} (6) & φ (r) = \sum_{j = 1}^{N} φ_{j} \cdot f_{j} (r) . \end{matrix}

С физической точки зрения рассуждения, приведённые выше, сводятся к следующему. Пусть все проводники, кроме $i$ -го, заземлены, а потенциал $i$ -го проводника задан. Тогда, очевидно, существует функция, описывающая распределение потенциала в пространстве вне проводников; согласно теореме единственности (поскольку потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа) эта функция определяется однозначно. Переход к базисным функциям $f_{i} (r)$ обусловлен необходимостью показать, что это распределение представляется в виде $φ_{i} \cdot f_{i} (r)$ , где $f_{i} (r)$ зависит только от геометрии системы.

Таким образом, кроме прочего снимается вопрос существования набора базисных функций ${f_{i} (r)}$ для заданной геометрии проводников. Очевидно, существует электрическое поле, создаваемое заряженным до известного потенциала $i$ -ым проводником при условии, что все остальные заземлены.

Связь между потенциалами и зарядами (2) устанавливается через теорему Гаусса. Заряд $i$ -го проводника определяется потоком вектора напряжённости через его поверхность $S_{i}$ :

\begin{matrix} (7) & q_{i} = ε_{0} \oint_{S_{i}} E \cdot d S = - ε_{0} \oint_{S_{i}} \nabla φ \cdot d S . \end{matrix}

Подставляя в (7) разложение (6), получаем:

\begin{matrix} (8) & q_{i} = \sum_{j = 1}^{N} φ_{j} (- ε_{0} \oint_{S_{i}} \nabla f_{j} \cdot d S) . \end{matrix}

Величины в скобках зависят только от вида базисных функций $f_{j} (r)$ и формы поверхности интегрирования, иначе говоря, определяются исключительно геометрией системы. Обозначив их через $C_{i j}$ , приходим к системе уравнений (2):

\begin{matrix} (9) & q_{i} = \sum_{j = 1}^{N} C_{i j} φ_{j}, где C_{i j} = - ε_{0} \oint_{S_{i}} \nabla f_{j} \cdot d S . \end{matrix}

Чтобы перейти к искомой формуле (1), перепишем полученную систему уравнений в матричном виде:

\begin{matrix} (10) & q = \hat{C} \cdot φ, \end{matrix}

где $q$ и $φ$ — столбцы зарядов и потенциалов соответственно. Из физических соображений (теорема взаимности Грина и положительность энергии поля) следует, что матрица ёмкостных коэффициентов $\hat{C}$ является симметричной и положительно определённой. Следовательно, она невырождена, и для неё существует обратная матрица:

\hat{α} = {\hat{C}}^{- 1} .

Умножая векторное уравнение (10) на $\hat{α}$ , получаем однозначную связь потенциалов с зарядами:

φ = \hat{α} \cdot q \Rightarrow φ_{i} = \sum_{j = 1}^{N} α_{i j} q_{j} .

Таким образом, потенциальные коэффициенты $α_{i j}$ являются элементами матрицы, обратной матрице ёмкостных коэффициентов. Поскольку элементы $\hat{C}$ зависят только от геометрии системы (через потоки градиентов базисных функций $f_{j}$ ), то и коэффициенты $α_{i j}$ определяются исключительно взаимным расположением и формой проводников.

В математике доказывается теорема о существовании решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Впрочем в нашем случае этот вывод можно сделать из физических соображений. ↩

Потенциальные и ёмкостные коэффициенты

Формулировка задачи и теорема единственности

Конструирование решения

Примечания